Silences in Teaching

Les voix du silence dans l’académie


mathematics and silence
Leo Jonker

les mathématiques et le silence
traduction Jolimot Inc.

“Imagine a line, straight and without thickness, running along my arms in both directions, out through the classroom wall into the playground, farther and farther, on into space – a line without end, infinitely long.”

Upon saying this, the mathematics teacher stretched out his arms, and, following the line as it extended from his index finger, this 12-year-old was caught up in the vision of something perfect, something against which, for a brief moment, all else seemed flawed, indistinct, and mundane. Nothing happened in that classroom, not in the usual sense, not at that moment. There was no problem to solve, no algorithm to learn, not even a clever explanation to savour. It was above all a moment of silence. It was the moment that made me a geometer.

Mathematics is replete with problems to engage a young mind. I remember my father challenging us with mathematics problems at the dinner table. Especially good were puzzles that became simple once you shifted your point of view. One such problem was the bee flying at constant speed back and forth between the noses of two bicyclists approaching each other on a straight road. Given the initial separation of the bicyclists and their speeds, my siblings and I were challenged to calculate the distance covered by the bee as it flew back and forth over shorter and shorter distances. We imagined it was crushed between the noses of the two bicyclists, and wondered how we could ever add all those smaller and smaller distances.

Mathematics is surprising in its power to shed light on so much. It is not the effort that unlocks the problem, but the unexpected shift in focus, the reflection, the silence. Though much of our early mathematical understanding is awakened by intuitive grappling with the physical world, it is surprising and delightful that the potentialities present in our brains from birth are so well tuned to our experience. Eugene Wigner called this “the unreasonable effectiveness of mathematics.” It allows me, as a teacher, to treat a lot of mathematics as carefully examined common sense. Plato’s vision centred on ideal objects reflected in our experience by imperfect copies. Only someone who had taken the time to attend to those ideals would recognize these reflections for what they were: only he or she would be able to step back and see the whole picture, to see through to the solution of a problem.

More current views of learning stress the autonomy of the student, the time needed to construct understanding, the delight of knowing for oneself, while others stress the role of community in the education enterprise. Even so, when our understanding opens up to a difficult concept, perhaps after frustrating effort, we recognize it not as something of our own making, but as something universal, belonging to everyone. And to no one. We are then reduced to an inarticulately-uttered “Ah!” Or, to a deeply satisfied silence.

Diana Laurillard, in her discussion of attempts to discover how students learn, points out that when students are observed and overheard struggling with a mathematics problem, the critical insight is always preceded by a moment of silence. At that moment, speech would get in the way. Even inner speech seems suspended at the time of our insight. On the heels of this, the hard work of checking, justifying, correcting, and refining an idea commences, but its birth is attended by silence.

The geometer H. S. M. Coxeter, whose courses I took at the University of Toronto (1961-1963), understood the role of silence in mathematics. Though he died only recently, when I was an undergraduate, Coxeter already appeared to be from a different era. His classes seemed quaint, shockingly quiet to our eager, restless minds. There was no attempt to motivate material in terms of applications. A proof was a picture, carefully drawn in coloured chalk. To understand it required contemplation: not the usual string of “if”s and “therefore”s ending in a flourished “Q.E.D.” He would stand there. Smile. Wait till we saw the connection.

The power of mathematics is both a blessing and a curse. Since the subject is considered important, great efforts are made to teach it as quickly and thoroughly as possible: to present it as useful rather than beautiful, and – quite unlike poetry – careers depend on it. Such teaching leaves little time to listen to music, to wait for insight.

The best insights always come suddenly, as surprises, as gifts. They may come after hours of frustration, when we think we are ready to give up; when they come we should pause to marvel that our small brains can grasp something so intricate and so simple, so bound up with the still beauty of the world.

Today’s high-achiever students arrive at university ready to do all the problems in the textbook in my first year calculus class. Over-ambitious and over-extended, they have no time for reflection: no time for silence. I advise them to do just one or two questions, to persist in solving these and, when a solution has been found, to meditate on it.

Works Cited:
Wigner, Eugene. (1960). “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences,” Communications in Pure and Applied Mathematics, 13(1).
Laurillard, Diana. (1998). Rethinking university teaching: A framework for the effective use of educational technology. London: Routledge.

« Imaginez une ligne, droite et sans épaisseur, qui courrait le long de mes bras dans les deux directions, traverserait le mur de la salle de classe et franchirait la cour de récréation pour continuer plus loin, et encore plus loin dans l’espace – une ligne sans fin, infiniment longue. »

En disant cela, le professeur de mathématiques étendit les bras, et, suivant des yeux la ligne imaginaire partant de son index, l’élève de douze ans que j’étais eut soudain la vision de quelque chose de parfait qui, pendant un bref moment, rendit tout ce qui l’entourait, imparfait, indistinct et banal. Rien pourtant ne venait de se produire dans cette classe, pas dans le sens habituel du terme. Il n’y avait pas eu de problème à résoudre, pas d’algorithme à apprendre, ni même d’explication savante à découvrir. Ce fut par dessus tout un moment de silence. Ce fut le moment qui fit de moi un géomètre.

Les mathématiques regorgent de problèmes tout à fait stimulants pour un jeune esprit. Mon père avait l’habitude de nous poser des problèmes de mathématiques à table. Nous aimions surtout les énigmes dont la simplicité jaillissait aussitôt que nous les envisagions sous un angle différent. Je me souviens d’un problème où il était question d’une abeille volant à une vitesse constante entre les nez respectifs de deux cyclistes allant l’un vers l’autre sur une route droite. Compte tenu de la distance initiale entre les deux cyclistes et de leurs vitesses respectives, nous devions calculer la distance parcourue par l’abeille dans ses allers et retours, de plus en plus courts, entre les cyclistes. Nous imaginions qu’elle finissait par se faire écraser entre les deux nez et nous nous demandions comment parvenir à calculer toutes ces distances de plus en plus petites.

Il est fascinant de constater comment les mathématiques peuvent expliquer autant. Ce n’est pas tant l’effort, qui permet d’élucider le problème, que la façon dont, soudain, on examine la situation sous un angle différent, grâce à la réflexion, au silence. Si une large part de notre compréhension initiale des mathématiques émerge de nos rapports intuitifs avec le monde physique, il est étonnant et merveilleux de découvrir que les capacités qui semblent exister dans notre cerveau dès la naissance sont si bien harmonisées avec notre expérience. Eugene Wigner a appelé cela « la déraisonnable efficacité des mathématiques » (the unreasonable effectiveness of mathematics). Cela me permet, en tant que professeur, d’aborder une grande partie des mathématiques comme du simple bon sens qu’on analyserait et expliquerait à fond. Selon la philosophie de Platon, les idées, formes parfaites, se transformeraient dans notre expérience en copies imparfaites. Seul un être désireux de découvrir ces idées pures serait à même de reconnaître les copies pour ce qu’elles sont. Seul l’être apte à prendre assez de recul pour voir le tableau d’ensemble peut trouver la solution d’un problème.

Les théories plus contemporaines de l’apprentissage insistent sur l’importance de l’autonomie de l’apprenant, le temps nécessaire au développement d’une compréhension, le plaisir d’acquérir un savoir propre, tandis que d’autres privilégient le rôle de la collectivité dans l’acquisition du savoir. Cela dit, lorsque nous parvenons à comprendre un concept complexe, parfois après des efforts particulièrement frustrants, nous y voyons non pas le fruit de notre propre création, mais une notion universelle, quelque chose qui appartient à tout le monde et à personne en particulier. En faisant ce constat, nous en sommes réduits à un « Ah! » étouffé. Ou bien à un silence de profonde plénitude. ;

Diana Laurillard, dans son exposé sur les efforts déployés pour comprendre comment les étudiants apprennent, souligne que, lorsqu’on observe ou écoute des étudiants en train de résoudre un problème de mathématiques, le moment où ils accèdent à la solution est toujours précédé d’un instant de silence. À cet instant, la parole ferait obstacle. Même notre discours intérieur semble suspendu à l’instant de cette révélation. Le travail difficile qui consiste à vérifier, justifier, corriger et peaufiner une idée exige certes un effort d’articulation, mais l’idée elle-même ne peut naître que du silence. Le géomètre H. S. M. Coxeter, dont j’ai suivi les cours à l’Université de Toronto (1961-1963), avait bien saisi le rôle du silence dans les mathématiques. Bien qu’il soit décédé récemment, Coxeter semblait appartenir, même pendant mes études de premier cycle, à une époque différente. Ses cours nous apparaissaient comme enveloppés d’un charme suranné, dont le calme et la sérénité étaient presque choquants pour nos esprits fébriles et avides de savoir. Il n’essayait pas de nous motiver à l’aide d’applications pratiques. Sa preuve, il la dessinait à la craie de couleur. Pour pouvoir la comprendre, il nous fallait accéder à un état de contemplation, plutôt que de nous soumettre à la sempiternelle série de « si » et de « par conséquent » aboutissant à la finale classique : « C.Q.F.D. » (ce qu’il fallait démontrer). Il se tenait simplemant là, debout devant nous, souriant, attendant patiemment que nous découvrions la connexion.

Le pouvoir des mathématiques est à la fois un bienfait et une calamité. Étant donné l’importance donnée au sujet, on déploie des efforts considérables pour enseigner cette matière aussi rapidement et de manière aussi approfondie que possible : mettre en évidence son utilité plutôt que sa beauté – à l’inverse de la poésie – des carrières en dépendent. Ce type d’enseignement laisse peu de temps pour écouter de la musique, pour attendre la révélation.

Les révélations les plus percutantes nous arrivent toujours de façon soudaine, comme des cadeaux du ciel. Elles peuvent surgir après de longues heures de labeur, alors même que nous sommes sur le point de renoncer. Lorsque ces moments précieux surviennent, il faut prendre le temps de s’émerveiller du fait que nos esprits puissent appréhender une chose si complexe et si simple à la fois, une chose aussi étroitement liée à la beauté du monde.

Les étudiants d’aujourd’hui, assoiffés de performance, arrivent à l’université prêts à faire tous les problèmes posés dans le manuel au programme dans mon cours de première année en calcul infinitésimal. Ambitieux à l’extrême, trop occupés, ils ont peu de temps pour la réflexion, pas de temps pour le silence. Je leur recommande de ne répondre qu’à une ou deux questions, de prendre le temps de les résoudre à fond, et une fois la solution trouvée, de méditer dessus.

 

Ouvrages cités :
Wigner, Eugene. (1960). “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences,” Communications in Pure and Applied Mathematics, 13(1).
Laurillard, Diana. (1998). Rethinking university teaching: A framework for the effective use of educational technology. London: Routledge.